Wiki. “共轭” [共轭]

本文所指的复数的共轭.

复数域 $\mathbb{C}$ 上的共轭是 Galois 群 $\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ 的生成元. 若将 $\mathbb{C}$ 嵌入矩阵环 $\operatorname{Mat}_2(\mathbb{R})$, $$ a+bi\mapsto \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, $$ (将 $z\in\mathbb{C}$ 对应到 $\mathbb{R}$-线性变换 $w\mapsto zw$ 的矩阵) 则共轭是矩阵的转置.

复向量空间的共轭

对于复向量空间 $V$, 其共轭 $\overline{V}$ 是另一个 $\mathbb{C}$-向量空间, 带有 Abel 群的同构 $V\to \overline{V},v\mapsto \bar v$, 而 $\overline{V}$ 的 $\mathbb{C}$-模结构由下式定义: $$ c\cdot \bar v := \overline{\bar{c} \,v}\,(c\in\mathbb{C},v\in V). $$ 换言之, $$ \overline{c\cdot v}=\bar c \cdot\bar v. $$

用范畴语言, 共轭是 $\mathsf {Vect}_{\mathbb{C}}$ 到自身的范畴同构.

自然地, 复向量丛可定义共轭.

共轭与向量空间的操作

直和, $$ \overline{V\oplus W} \simeq \overline{V} \oplus \overline{W}; $$ Hom, $$ \overline{\operatorname{Hom}(V,W)}\simeq \operatorname{Hom}(\overline{V},\overline{W}); $$ 特别地, (假若有自然同构 $\mathbb{C}\to \overline{\mathbb{C}}$) $$ \overline{V^*} \simeq (\overline{V})^*; $$ 张量积, $$ \overline{V\otimes W} \simeq \overline{V}\otimes \overline{W}. $$

复化空间的共轭

实向量空间的复化 $V_{\mathbb{C}}:= V\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ 到自身有自然的共轭运算, 也即自然同构 $$ \overline{V_{\mathbb{C}}} \to V_{\mathbb{C}}. $$ (这里的自然是对于实向量空间 $V$ 而言的; 准确地说, 对于两个 $\mathsf {Vect}_{\mathbb{R}}$ 到 $\mathsf {Vect}_{\mathbb{C}}$ 的函子, 一个是复化, 一个是复化再共轭, 两者之间有自然同构.)

对于复向量空间 $V$, 我们也可将 $V$ 暂时视为实向量空间而定义 $V_{\mathbb{C}}:= V\otimes _{\mathbb{R}}\mathbb{C}$. 定义 $V_{\mathbb{C}}$ 上的复结构 $J$ 为 $$ J(v\otimes z):= (\mathbf i v)\otimes z (v\in V, z\in \mathbb{C}). $$ 那么有 $J$ 的直和分解 $V_{\mathbb{C}} = V^{1,0} \oplus V^{0,1}$. 对 $v\in V, z\in \mathbb{C}$, 上述直和分解的公式为 $$ v \otimes z \mapsto \Big( \frac{v\otimes z - (\mathbf iv)\otimes (\mathbf iz)}{2}, \frac{v\otimes z + (\mathbf iv)\otimes (\mathbf iz)}{2} \Big); $$ 作为复线性空间有 $V^{1,0}\simeq V$, $V^{0,1}\simeq \overline{V}$.