Wiki. “自旋群” [自旋群]
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参见自旋表示.
物理意义
自旋群可描述费米子的对称性.
巧合同构
$$ \operatorname{Spin}(1)= O(1), $$ $$ \operatorname{Spin}(2)=U(1)=SO(2), $$ $$ \underset{B_1}{\operatorname{Spin}(3)}=\underset{C_1}{\mathrm{Sp}(1)}= \underset{A_1}{SU(2)}, $$ $$ \underset{D_2}{\operatorname{Spin}(4)}=\underset{A_1}{SU(2)}\times \underset{A_1}{SU(2)}, $$ $$\underset{B_2}{\operatorname{Spin}(5)}=\underset{C_2}{\mathrm{Sp}(2)},$$ $$ \operatorname{Spin}(6)=SU(4). $$
四维情形
欧氏和 Minkowski 情形的 $4$ 维流形的结构群分别有二重覆盖 $$ \widetilde {SO(4)} = SU(2) \times SU(2) = \operatorname{Spin}(4), $$ $$ \widetilde {SO_o(1,3)}= SL(2,\mathbb{C})=\operatorname{Spin}(3,1). $$ 其中有 $SL(2,\mathbb{C})$ 的表示 $$ \mathbb{R}^{1,3}\otimes \mathbb{C} \simeq \mathbb{C}^2 \otimes \overline{\mathbb{C}^2}. $$
细节
Minkowski 时空中的类光方向 (null direction) 可对应于 $S^2$, 或 $\mathbb{C}P^1$. 采用 $\mathbb{C}P^1$ 上的齐次坐标 $\zeta=\xi / \eta$, $SL_2(\mathbb{C})$ 在 $\xi,\eta$ 上的作用相当于在类光方向上的作用, 从而给出了二重覆盖 $$ SL_2(\mathbb{C})\to SO^+(1,3). $$ $$ \begin{pmatrix} \xi\\ \eta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \overline{\xi}&\overline{\eta} \end{pmatrix} $$
将 $\mathbb{R}^4$ 等同于 $2$ 阶 Hermite 矩阵的空间 $H$, $$ x=(x_0,x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^4 \quad\mapsto\quad X=\begin{pmatrix} x_0+x_1 & x_2+ix_3 \\ x_2-ix_3 & x_0-x_1 \end{pmatrix}\in H. $$ 注意到 $\det X= x_0^2-x_1^2-x_2^2-x_3^2$ 是 Minkowski 范数.
考虑 $SL_2(\mathbb{C})$ 在 $H$ 上的作用, 对于 $A\in SL_2(\mathbb{C}), X\in H$ 定义 $$ A\cdot X := AXA^*, $$ 其中 $A^*$ 是 $A$ 的共轭转置. 注意到 $\det(AXA^*)=\det(X)$, 即这个作用保持 Minkowski 范数的, 于是定义了同态 $SL_2(\mathbb{C}) \to O(1,3)$. 又因为 $SL_2(\mathbb{C})$ 连通, 故这个群同态的像包含在连通分支 $SO^+(1,3)$ 中.