Wiki. “SU(2)” [SU(2)]

$SU(2)$ 是行列式为 $1$ 的二阶酉矩阵的乘法群, 其元素形如 $$ \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\bar\beta & \bar\alpha \end{pmatrix}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 $$ 它也同构于单位四元数的乘法群; 有 Lie 群的同构 $SU(2)\simeq \text{Spin}(3)$ (见 自旋群).

$SU(2)$ 的一个极大环面是由对角矩阵 $\begin{pmatrix} \alpha&\\&\bar\alpha\end{pmatrix} (|\alpha|=1)$ 构成的同构于 $U(1)$ 的子群.

Lie 代数

$\mathfrak {su}(2)$ 的元素形如 $$ \begin{pmatrix} iz & x+iy \\ -x+iy & -iz \end{pmatrix}, x,y,z\in\mathbb{R}. $$

有 Lie 代数的同构 $\mathfrak {sl}(2,\mathbb{C})\simeq\mathfrak {su}(2)\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$.

表示

$SU(2)$ 的表示以自旋 $0,\dfrac{1}{2},1,\cdots$ 标记.

见 sl2的表示