Wiki. “sl2的表示” [sl2的表示]

$\mathfrak {sl}(2)$ 的表示理论是约化 Lie 代数的表示理论的核心, 因为后者最困难的部分在于单 Lie 代数的不可约表示, 而后者常常可化为 $\mathfrak {sl}(2)$ 的表示.

$\mathfrak {sl}_2$ 的一组基为 $$ X=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\quad Y=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\quad H=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}, $$ 它们满足关系 $$ [H,X]=2X,\quad[H,Y]=-2Y,\quad[X,Y]=H. $$

$\mathfrak {sl}(2)$ 的有限维不可约表示一定包含一个最高权向量, 被 “升算子” $X$ 零化, 且是 $H$ 的特征向量, 特征值为最大权 $\Lambda$.

最大权 $m$ 的表示可实现如下: 考虑两个变量 $z_1,z_2$ 的 $m$ 次齐次多项式的空间, $$ X = - z_2 \frac{\partial}{\partial z_1},\quad Y = - z_1 \frac{\partial}{\partial z_2},\quad H = - z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} + z_2 \frac{\partial}{\partial z_2}. $$