Wiki. “切结构” [切结构]

定义

一个 $n$-维切结构是一个拓扑空间 $\chi(n)$ 与一个纤维化 $\chi(n)\to BO(n)$.

一个 $n$-维稳定切结构是一个拓扑空间 $\chi$ 与一个纤维化 $\chi\to BO$.

设 $M$ 为 $m$ 维流形, 其上的一个 $\chi(n)$-结构是 $TM\oplus\mathbb{R}^{n-m}$ 的分类映射 $M\to BO(n)$ 的一个提升 $M\to\chi(n)$.

参加 G-结构.

例

万有结构

$\chi(n)$ 上有一个万有 $\chi(n)$-结构, 即 $BO(n)$ 上的万有 $n$ 维向量丛沿着 $\chi(n)\to BO(n)$ 的拉回, 记之为 $S(n)\to \chi(n)$.

$$ \begin{array} {cc} S(n) & \to & EO(n)\\ \downarrow&&\downarrow\\ \chi(n) & \to & BO(n). \end{array} $$

那么, 任何 $M$ 上的 $\chi(n)$-结构等同于拉回图 $$ \begin{array} {cc} \widetilde {TM} & \to & S(n)\\ \downarrow&&\downarrow\\ M & \to & \chi(n). \end{array} $$

定向与自旋

定向 $BSO \to BO$ 是一种切结构.

自旋 $BSpin\to BO$ 也是一种切结构.

性质

正合列

纤维序列 $$ \begin{array} {cc} BSpin\\ \downarrow\\ BSO&\to &K(\mathbb{Z}/2,2) \end{array} $$ 给出正合列 $$ [M,BSpin]\to [M,BSO] \to [M,K(\mathbb{Z}/2,2)], $$ 故提升 $M\to BSpin$ 存在当且仅当复合映射 $M\to BSO\to K(\mathbb{Z}/2,2)$ (第二 Stiefel–Whitney 类) 为零.