Wiki. 切结构 [切结构]

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观念

切结构是基于流形的切丛的一大类结构的统称, 包括定向, Riemann 度量, 近复结构等. 它是流形的切丛对应的 $\mathrm{GL}_n$-主丛的约化.

定义

设 $p \colon G\to \mathrm{GL}_n$ 为群的同态. (这里的 $\mathrm{GL}_n$ 可以是离散群, 也可以是 Lie 群, 甚至可以是生象群, 依实际需要决定)

对于 $m\leq n$, 定义 $m$ 维流形 $M$ 上的一个 $p$-结构是 $TM\oplus\mathbb{R}^{n-m}$ 的分类映射 $M\to \mathbf{B}\mathrm{GL}_n$ 的一个提升 $$ \begin{array} {ccc} && \mathbf{B}G\\ &\nearrow&\downarrow {\scriptsize \mathbf{B}p}\!\!\!\!\\ M&\to &\mathbf{B}\mathrm{GL}_n. \end{array} $$ 那么 $p$-结构的集合是非 Abel 上同调的映射 $H^1(M,G) \to H^1(M,\mathrm{GL}_n)$ 之下, 切丛 $TM$ 对应的元素的原像.

当群同态 $p\colon G\to \mathrm{GL}_n$ 没有歧义, 或有一个公认的选取 (比如 $G$ 是 $\mathrm{GL}_n$ 的 Lie 子群) 时, 也称 $p$-结构为 $G$-结构.

例

平凡群 $1$ 对应的结构即为切丛的平凡化, 称为标架.
$\mathrm{id}_{\mathrm{GL}_n}$-结构等于没有结构.
$\mathrm{GL}_n^+$-结构就是定向.
$\mathrm{SL}_n$-结构称为体积形式.
$\mathrm{O}_n$-结构相当于 Riemann 度量.
$\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\hookrightarrow\mathrm{GL}_{2n}(\mathbb{R})$-结构就是近复结构.
$\mathrm{U}_n$-结构又叫近 Hermite 结构.
$\mathrm{Spin}_n$-结构称为自旋结构.

性质

正合列

设 $M$ 为定向 Riemann 流形, 即有一个 $\mathrm{SO}_n$-结构 $M \to \mathbf{B}\mathrm{SO}_n$. 现在问 $M$ 是否具有 $\mathrm{Spin}_n$-结构. 考虑纤维列 $$ \mathbf{B}\mathbb{Z}/2 \to \mathbf{B}\mathrm{Spin}_n \to \mathbf{B}\mathrm{SO}_n \to \mathbf{B}^2\mathbb{Z}/2, $$ 它给出非 Abel 上同调的正合列 $$ H^1(M,\mathbb{Z}/2) \to H^1(M,\mathrm{Spin}_n)\to H^1(M,\mathrm{SO}_n) \to H^2(M,\mathbb{Z}/2), $$ 而复合映射 $M \to \mathbf{B}\mathrm{SO}_n \to \mathbf{B}^2\mathbb{Z}/2$ 对应的 $H^2(M,\mathbb{Z}/2)$ 的元素恰为第二 Stiefel–Whitney 类 $w_2(M)$. 故 $M$ 有自旋结构当且仅当 $w_2(M)=0$.

可积性

一些重要的结构如复结构, 辛结构, Kähler 流形, 是由 $G$-结构附加某些可积性条件得到的.