notion上同调 [上同调]

在一个无穷范畴 $\mathcal C$ 中, 对象 $X$ 的取值于对象 $A$ (或称以 $A$ 为系数) 的 $n$ 阶上同调为 $$ H^n(X,A) :=\pi_0\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X,\mathbf{B}^nA), $$ 其中 $\mathbf{B}$ 表示逆环路空间函子.

• 我们主要关心的 $\mathcal C$ 是 $\infty$-意象, 特别是景上取值于 $\mathsf{Ani}$ 的层意象. 通常对象 $X$ 就取为终对象, 也即一个点对应的常值层.
• 一般地, 定义 $A$-系数的 $n$ 阶上同调需要 $A$ 具有 $\mathbb E_n$-群结构. 要想能够对所有正整数 $n$ 定义 $A$-系数的 $n$ 阶上同调, 也就是 $A$ 具有任意阶的逆环路空间, 必须要 $A$ 为 Abel 群, 又叫 $\mathbb E_\infty$-群.
• 通常的上同调是对 Abel 群 $A$ 定义的; 但也可以考虑 Abel 群之外的系数对象, 称之为非 Abel 上同调.

例

• 奇异上同调是 $\mathsf{Ani}$ 中以普通 Abel 群 $A$ (视为离散 $\mathbb E_\infty$-群) 为系数的上同调. 对于普通 Abel 群 $A$, 其 $n$ 阶逆环路空间 $\mathbf{B}^n A$ 是 Eilenberg–MacLane空间.
• (Abel) 层上同调是层意象中以 $\mathbb E_\infty$-群对象为系数的上同调.
• 特别地, 群 $G$ 的以 $G$-表示 $V$ 为系数的群上同调是其逆环路空间 $\mathbf{B}G$ 上的 $\mathbb E_\infty$-群对象 $V / G \to \mathbf{B}G$ 的上同调.

性质

Abel 情形的计算

Abel 上同调能够计算的原因是:

• $\mathbb E_\infty$-群等同于连合谱;
• 对于普通 Abel 群 (即 $\mathbb{Z}$-模) $A$, 其 $n$ 阶逆环路空间 $\mathbf{B}^n A$ 作为谱对象是 $\mathbb{Z}$-模谱 $A[n]$;
• 进而生象 $X$ 到 $\mathbf{B}^n A$ 的映射等同于
  • $X$ 自由生成的 $\mathbb E_\infty$-群 $\Omega^{\infty}\Sigma^{\infty}_+ X$ 到 $\mathbf{B}^n A$ 的映射,
  • $X$ 的纬悬谱 $\Sigma^{\infty}_+ X$ 到 $A[n]$ 的映射,
  • $X$ 自由生成的 $\mathbb{Z}$-模谱 $\mathbb{Z}[X]:= \Sigma^\infty_+ X \wedge \mathrm{H}\mathbb{Z}$ 到 $A[n]$ 的映射;
• $\mathbb{Z}$-模谱可表现为 (非负次数) $\mathbb{Z}$-链复形, 然后应用各种消解手段计算.

在上述讨论中也可将 “生象” 替换为任何 $\infty$-意象的对象 (换言之, 视为意象的内语言中的讨论). 不过具体的消解手段还是要根据具体的意象和景来选取.

意象之间的比较

设 $$ f = (f^*\dashv f_*)\colon \mathcal Y \to \mathcal X $$ 为 $\infty$-意象之间的几何态射. todo