Wiki. Artin–Schreier 理论 [Artin–Schreier理论]

设 $X$ 为 $\mathbb F_p$-概形, 则有 $X$ 的平展意象中的 Abel 群的正合列 $$ 0\to \mathbb{Z}/p\to \mathbb A^1 \overset{\mathrm{Frob}-1}{\to} \mathbb A^1\to 0, $$ 其中 $\mathrm{Frob}$ 为 Frobenius 态射. 它给出 (平展) 上同调的长正合列 $$ \begin{aligned} 0 &\to \mathbb{Z}/p\to \mathcal O(X) \overset{\mathrm{Frob}-1}{\to} \mathcal O(X) \\ &\to H^1(X,\mathbb{Z}/p) \to H^1(X,\mathbb A^1) \overset{\mathrm{Frob}-1}{\to} H^1(X,\mathbb A^1)\\ &\to\cdots. \end{aligned} $$

对应于 $a\in\mathcal O(X)$ 的 $\mathbb{Z}/p$-主丛为拉回 $$ \begin{array} {ccc} ? & \to & \mathbb A^1\\ \downarrow & & \downarrow \mathclap{\hspace{2.5em}\scriptsize \operatorname{Frob} - 1}\\ X & \underset{a}{\to} & \mathbb A^1, \end{array} $$ 即 $$ \begin{aligned} X' &= \{(x,t)\in X\times\mathbb A^1\mid t^p-t= a(x)\} \\&=\underline{\operatorname{Spec}}_X (\mathcal O_X [t]/(t^p-t-a)). \end{aligned} $$

例

设 $X=\operatorname{Spec} A$, $A$ 为 $\mathbb F_p$-代数. 此时 $H^1(X,\mathbb A^1)=0$, 故 $X$ 上的所有 $\mathbb{Z}/p$-主丛均形如 $\operatorname{Spec} A[t]/(t^p-t-a)$, 而这个主丛平凡当且仅当 $a$ 形如 $b^p-b\,(b\in A)$.