Wiki. “Frobenius 态射” [Frobenius态射]
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定义
代数
设 $k$ 为 $p$ 特征域, 其 Frobenius 态射为自同态 $F\colon k\to k$, $F(a)=a^p$.
一般地, 对于 $\mathbb F_p$-代数 $A$, 都有 $\mathbb F_p$-代数同态 $F\colon A\to A$, $F(a)=a^p$.
对于 $\mathbb F_q$-代数 $A$, Frobenius 态射是指 $a\mapsto a^q$.
概形
设 $X$ 为 $S$-概形, $S$ 为 $k$-概形.
$X$ 的绝对 Frobenius 态射 $F^{\mathrm {ab}}\colon X\to X$ 是拓扑空间上的恒等与结构层上的 $p$ 次方映射 $\mathcal O_X\to\mathcal O_X$. 绝对 Frobenius 态射一般不是 $X$ 作为 $S$-概形的自同态, 因为如下交换图的底边不是恒等态射. $$ \begin{array} {ccc} X & \overset{F^{\mathrm ab}}{\to} & X\\ \downarrow && \downarrow\\ S&\overset{F^{\mathrm ab}}{\to} &S. \end{array} $$ 当 $S=\operatorname{Spec}\mathbb F_p$ 时, $F^{\mathrm {ab}}$ 是概形 $S$ 上的恒等态射, 故给出 $X$ 作为 $S$-概形的自同态.
定义 $X^{(p)}=X\times_S S$, 得到 $X$ 的相对 Frobenius 态射 $F^{\mathrm {rel}}\colon X\to X^{(p)}$.
环范畴上的函子
对于 $k$-代数 $A$, 定义如下两个 $k$-代数.
- 定义 $A_f$ 为 $A$ 沿 $f_k\colon k\to k$ 标量限制得到的 $k$-代数, 即环同态的复合 $k\overset{f_k}{\to}k \to A$. 有自然的 $k$-代数同态 $f_A\colon A\to A_f$, $a\mapsto a^p$.
- 定义 $A^{(p)}$ 为 $A$ 沿 $f_k\colon k\to k$ 标量扩张得到的 $k$-代数, 即张量积 $A\otimes_{k,f_k} k$. 有自然的 $k$-代数同态 $A^{(p)}\to A$, $a\otimes \lambda\mapsto a^p\lambda$. 由定义有伴随 $$ \operatorname{Hom}_{k\text{-}\mathsf{Alg}}(A^{(p)},B)\simeq\operatorname{Hom}_{k\text{-}\mathsf{Alg}}(A,B_f). $$
对于函子 $X\colon k\text{-}\mathsf {Alg}\to\mathsf {Set}$, 定义 $X^{(p)}=X\times_{\operatorname{Spec}_k,f_k}\operatorname{Spec}k$, 有 $$ X^{(p)}(A)\simeq X(A_f), $$ 即 $$ \operatorname{Hom}(\operatorname{Spec}A,X^{(p)})\simeq\operatorname{Hom}(\operatorname{Spec}A_f, X). $$
$X$ 的 Frobenius 态射 $X \to X^{(p)}$ 由映射 $X(A) \to X(A_f)\simeq X^{(p)}(A)$ 给出.
数域
数域 $F$ 的 Galois 群 $\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$ 与有限域的 Galois 群有些联系, 可以由此将 Frobenius 自同构转移到 $\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$ 上.
设 $K/F$ 是数域的扩张, $v$ 为非分歧素理想, 记 $v$ 分裂成的素理想之一为 $w$. 注意 $\mathcal O_F/v$ 为有限域, 而 $\mathcal O_K/w$ 是它的 $n$ 阶有限扩张, $\operatorname{Gal}(\mathcal O_K/w , \mathcal O_F/v)$ 是 Frobenius 态射生成的 $n$ 阶循环群. 进一步, 可给出 $\operatorname{Gal}(K,F)$ 中的一个 Frobenius 共轭类 $\mathrm{Fr}(v)$.
例. $F = \mathbb{Q}$, $K = \mathbb{Q}(\zeta_N)$, $\operatorname{Gal}(K/F)\simeq (\mathbb{Z}/N)^\times$ (注意它是 Abel 群), $\mathcal O_F=\mathbb{Z}$, $\mathcal O_K=\mathbb{Z}[\zeta_N]$. 考虑素理想 $v=(p)$, 其非分歧当且仅当 $p$ 不整除 $N$. 此时 Frobenius 元素将 $\zeta_N$ 映射到 $\zeta_N^p$.
对于 $\mathcal O_F$ 的素理想 $v$, 选取一个由所有 $F$ 的有限扩张的素理想构成的相容系统, 其中每个元素都出现在 $v$ 的分解中. 这个系统可视为 $\overline{F}$ 的整数环中的一个关联于 $v$ 的素理想 $\bar v$.
函数域
设 $F$ 为 $\mathbb F_q$ 上曲线 $X$ 的函数域, $v$ 为其位, 记 $F_v$ 为 $F$ 关于 $v$ 完备化 (域)得到的局部域, $\mathcal O_v$ 为 $F_v$ 的整数环, $\kappa(v)$ 为 $\mathcal O_v$ 的剩余域.
每一个嵌入 $\overline{F}\subset\overline{F_v}$ 都给出绝对 Galois 群之间的一个嵌入 $\operatorname{Gal}(\overline{F_v}/F_v)\subset\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$.
$\operatorname{Gal}(\overline{\kappa(v)}/\kappa(v))\simeq\widehat {\mathbb{Z}}$ 中有一个 Frobenius 元素 $x\mapsto x^{q^{\deg(v)}}$, 考虑其在 $\operatorname{Gal}(\overline{F_v}/F_v)$ 中的提升在 $\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$ 的像, 称之为 $\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$ 在 $v$ 处的 Frobenius 元素 $\mathrm{Frob}_v$.
性质
$\mathbb F_p$ 的代数闭包的 Frobenius 同态是绝对 Galois 群 $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb F_p}/\mathbb F_p)$ 的拓扑生成元.