Wiki. “Weil 猜想” [Weil猜想]

$$ Z(T) = \frac{P_1(T)\cdots P_{2n-1}(T)}{P_0(T)\cdots P_{2n}(T)} $$

猜想的一部分说如果存在 $K$ 上的代数簇 $Y$ 在 $\mathfrak p$ 处有好的约化, 则 $P_i$ 的次数等于 $Y_{\mathbb{C}}$ 的 Betti 数 $b_i$.

$P_i$ 是 $H^i(X)$ 上 Frobenius 态射的特征多项式 $\det(1-\mathrm{Frob}\,T)$

想法: 合适的上同调理论 + Lefschetz 不动点定理 → Weil 猜想

但 Riemann 猜想仍旧神秘.

元猜想. 存在反变函子 (称为 Weil 上同调理论) $$ H^* \colon \{\text{光滑射影曲线}/\mathbb F_q\} \to \{\text{分次代数}\} $$ 满足 Poincaré–Verdier 对偶, Lefschetz 不动点定理, 与 Betti 上同调的比较等等.