Wiki. “ζ-函数” [ζ-函数]
Wiki. “ζ-函数” [ζ-函数]
定义
复代数簇
对于光滑复射影簇 $X$ 与映射 $f\colon X\to X$, 定义关于 $t$ 的形式幂级数 $$ Z(X,f,t) = \prod_i \det(1-f^*|_{H^i(X,\mathbb{C})} t) ^{(-1)^{i+1}}, $$
有限域上的代数簇
对于有限域 $\mathbb F_q$ 上的拟射影代数簇 $X$, 定义 $$ Z(X,T) = \exp \left(\sum_{r=1}^{\infty}\frac{T^r}{r}\# X(\mathbb F_{q^r})\right), $$ 定义 $\zeta(s) = Z(X,q^{-s})$.
函数域
设 $K$ 为函数域, $\mathcal O_K$ 为其整数环, 几何上意味着将 $\mathbb A^1=\operatorname{Spec}\mathbb F_q[t]$ 正规化为光滑仿射曲线 $\mathcal U=\operatorname{Spec}\mathcal O_K$. $$ \zeta(s) = \prod_{\mathfrak p}\frac{1}{1-|\mathcal O_K / \mathfrak p|^{-s}}, $$ 它是 $T=q^{-s}$ 的形式幂级数. 几何上 $\mathfrak p$ 对应曲线 $U$ 的闭点. 可以证明 $$ \zeta(s)=\exp\Bigg( \sum_{n=1}^\infty \frac{q^{-ns}}{n}|U(\mathbb F_{q^n})| \Bigg). $$ (取对数, 这是一个好的练习.)
曲线上的无穷位和其余的位是相似的, 不应区分. 这就是说应该考虑 $\mathbb P^1$ 在曲线中的正规化, 作为射影曲线.
数域
设 $K$ 为数域, $\mathcal O_K$ 为其整数环. 定义 Dedekind ζ-函数 $$ \zeta(s) = \sum_{\mathfrak a\subset\mathcal O_K}\frac{1}{(\# \mathcal O_K / \mathfrak a)^s} = \prod_{\mathfrak p\subset\mathcal O_K\,\text{prime}}\left(1-\frac{1}{(\#\mathcal O_K / \mathfrak p)^s}\right)^{-1}. $$ 特别地, 当 $\mathcal O_K=\mathbb{Z}$ 时这是 Riemann ζ-函数.
椭圆算子
对于椭圆算子 $H$, 其 ζ-函数是如下函数的解析延拓: $$ \zeta(s) = \operatorname{tr}\Big(\frac{1}{H}\Big)^s = \text{``}\,\sum_\lambda \lambda ^{-s}\,\text{''}. $$ 当 $H$ 是 Riemann 面上的 Laplace 算子时, 这称为 Selberg ζ-函数.
例
$$ Z(\mathbb A^n,T) = \frac{1}{1-q^n T}. $$ $$ Z(\mathbb P^n,T) = \frac{1}{(1-T)(1-qT)\cdots (1-q^n T)}. $$
椭圆曲线 $E_{/\mathbb F_q}$ 的 Frobenius 态射的 $n$ 次方的不动点为 $\# E(\mathbb F_{q^n})$, 也即 $\deg (\mathrm{id}-\mathrm{Frob}^n)$ (?).
Frob act on Tate modules?
Generalize to abelian varieties?