Wiki. “Riemann ζ-函数” [Riemannζ-函数]
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定义
对于 $\mathrm{Re}s > 1$, $$ \zeta(s)=\sum_{n\geq 1}n^{-s}=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}}. $$ 定义 (大写的) Zeta-函数为 $\zeta$ 乘上 “Gamma-因子” $$ Z(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s), $$ 其中 $\Gamma$ 在 $\mathrm{Re}s>0$ 时的定义为 $$ \Gamma(s)=\int_0^\infty e^{-t}t^s \frac{dt}{t}, $$ 而在其它处由函数方程延拓: $$ \Gamma(s+1)=s\Gamma(s). $$
定理. Zeta-函数可延拓为复平面上的亚纯函数, 在 $s=1$ 有一个留数为 $1$ 的单极点, 在 $s=0$ 有一个留数为 $-1$ 的单极点, 没有其它极点. Zeta 函数满足方程 $$ Z(s)=Z(1-s). $$