Wiki. Möbius 函数 [Möbius函数]

定义

Möbius 函数 $\mu\colon \mathbb{N}_+ \to\mathbb{C}$ 的定义为 $$ \mu(n) = \begin{cases} 0 & n \text{ 有平方因子}\\ (-1)^r & n=p_1\cdots p_r\text{ 为不同素数的乘积}. \end{cases} $$ 特别地, $\mu(1)=1$.

性质

Möbius 函数 $\mu$ 与常值函数 $1$ 的 Dirichlet 卷积是 $\delta$ 函数 (即 Dirichlet 卷积的单位元): $$ \sum_{i|n}\mu(i)=\begin{cases} 1 & n=1\\ 0 & n>1 \end{cases} $$ 这个性质导致了 Möbius 反演.