| $\mathbb{Z}$ | 多项式环 $\mathbb F_q[z]$ | 复平面上的全纯函数 $\mathcal O$ |
| $\mathbb{Q}$ | 分式域 $\mathbb F_q(z)$ | 复平面上的亚纯函数 |
| 素数 $p$ | $x\in\mathbb F_p$ | $x\in\mathbb{C}$ |
| $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ | $\operatorname{Spec}\mathbb F_q[z]\simeq\mathbb A^1_{\mathbb F_q}$ | 复平面 $\mathbb{C}$ |
| $\operatorname{Spec}\mathbb{Z} \cup \infty$ | $\mathbb P^1_{\mathbb F_q}$ | Riemann 球面 $\mathbb{C}P^1$ |
| $\dfrac{(-)^p-(-)}{p}$ | $\dfrac{\partial}{\partial z}$ | $\dfrac{\partial}{\partial z}$ |
| $\mathbb{Z}/p^n$ | $\mathbb F_q[z]/(z-x)^n$ | $\mathbb{C}[z]/(z-x)^n$ |
| $p$-进整数 $\mathbb{Z}_p$ | 形式幂级数 $\mathbb F_q[[z-x]]$ | $\mathbb{C}[[z-x]]$ |
| $p$-进数 $\mathbb{Q}_p$ | Laurent 级数 $\mathbb F_q((z-x))$ | 去心邻域上的全纯函数 $\mathbb{C}((z-x))$ |
| Adèle $\mathbb A_{\mathbb{Q}}$ | $\mathbb A_{\mathbb F_q}$ | $\prod'_{x\in\mathbb{C}}\mathbb{C}((z-x))$ |
| Idèle $\mathbb I_{\mathbb{Q}}$ | $\mathbb I_{\mathbb F_q}$ | $\prod'_{x\in\mathbb{C}}\mathrm {GL}_1\mathbb{C}((z-x))$ |
| Riemann ζ-函数 | Goss ζ-函数 | |
| 数域 $K$ | 代数曲线上的函数域 $K$ | Riemann 面 $\Sigma$ 上的有理函数层 $K_\Sigma$ |
| 整数环 $\mathcal O_K$ | | 结构层 $\mathcal O_\Sigma$ |
| 带有 Archimedes 位的谱 $\operatorname{Spec}_{\text{an}}(\mathcal O_K) \to \operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ | 算术曲线 $\Sigma$ | Riemann 面作为 Riemann 球面的分歧覆叠 $\Sigma \to \mathbb{C}P^1$ |
| Frobenius 的提升 (λ-环结构) | $\dfrac{\partial}{\partial z}$ | $\dfrac{\partial}{\partial z}$ |
| 数域的亏格 | 代数曲线的亏格 | Riemann 面的亏格 |
| 素理想 $v\in\mathcal O_K$ | $x\in\Sigma$ | $x\in\Sigma$ |
| Adèle $\mathbb A_{\mathbb{K}}$ | | $\prod'_{x\in\Sigma}\mathbb{C}((z_x))$ |
| Idèle $\mathbb I_{K}$ | | $\prod'_{x\in\Sigma}\mathrm {GL}_1\mathbb{C}((z_x))$ |
| Galois 群 | | 基本群 |
| Galois 表示 | | 局部系统 |
| $\mathrm {GL}_1(K)\backslash \mathrm {GL}_1(\mathbb A_K) / \mathrm {GL}_1(\mathcal O)$ | $\mathrm {GL}_1(K)\backslash \mathrm {GL}_1(\mathbb A_K) / \mathrm {GL}_1(\mathcal O)$ | 线丛的模叠 $\mathrm {Bun}_{\mathrm {GL}_1}(\Sigma)$ |
| 数域 Langlands 对应 | | 几何 Langlands 对应 |
| Dedekind ζ-函数 | Weil ζ-函数 | Riemann 面 (Laplace 算子) 的 ζ-函数 |
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