Wiki. “位” [位]

#代数数论

数域 (或整体域) $F$ 的一个位 $v$ 是乘性范数 $\|{-}\|\colon F \to \mathbb R_{\geq 0}$ (又称绝对值) 的等价类, 等价关系是 $\|{-}\| \sim \|{-}\|^s\,(s>0)$.

整体域 $F$ 关于位 $v$ 的 (范数) 完备化 $F_v$ 是局部域.

每个位都是一种将整体域完备化为局部域的方法.

例

$\mathbb{Q}$ 的位

• 通常的绝对值给出一个位 $|{-}|\colon \mathbb{Q}\to\mathbb{R}_{\geq 0}$, 称为无穷位或 Archimedes 位. 这个位的完备化为实数域 $\mathbb{R}$.
• 对于素数 $p$, 有一个位 $|{-}|_p\colon \mathbb{Q}\to \mathbb{R}_{\geq 0}$, 称为有限位, $|r|_p=p^{-n_p(r)}$. 这个位的完备化为 $p$-进数域 $\mathbb{Q}_p$.

$\mathbb F_q(t)$ 的位

• 取有理函数的次数给出一个位 $|f| = q^{-\operatorname{deg}(f)}$, 称为无穷位, 其完备化为 $\mathbb F_q(\!(t^{-1})\!)$.
• 对于 $\mathbb F_q[t]$ 中的首一不可约多项式 $P$, 有一个位 $|f|_P= q^{-n_P(f)}$.

性质

非 Archimedes 位的局部域的整数环

设 $v$ 是整体域 $F$ 的非 Archimedes 位 (即 $F_v$ 不同构于 $\mathbb{R},\mathbb{C}$), 则范数不超过 $1$ 的元素恰构成 $F_v$ 的整数环 $\mathcal O_v$. 例如 $\mathbb Q_p$ 的整数环为 $\mathbb{Z}_p$.

可将 $\mathcal O_v$ 视为曲线 $X$ 中 $v$ 附近的形式邻域上函数的 $\mathbb{F}_q$-代数, 而 $F_v$ 则是去心邻域上函数的 $\mathbb F_q$-代数.

函数域的位与闭点

$\mathbb F_q$ 上曲线 $X$ 的函数域 $F$ 的位恰为 $X$ 的闭点 (极大理想), 而 $X$ 的闭点一一对应于 $X(\overline{\mathbb F_q})$ 在 $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb F_q}/\mathbb F_q)$ 作用下的轨道. 对于闭点 $v$, 记 $n_v\colon F^\times\to\mathbb{Z}$ 为有理函数在 $v$ 处的消失阶数, $\mathcal O_v$ 为 $F_v$ 的整数环, $\kappa(v)$ 为 $\mathcal O_v$ 的剩余域, 记 $[\kappa(v):\mathbb F_q]=\operatorname{deg}(v)$, 则 $v$ 对应的范数为 $$ a\mapsto q^{-\operatorname{deg}(v)n_v(a)}. $$