Wiki. Adèle [Adèle]

L’objet de la théorie du corps de classes est de montrer comment les extensions abéliennes d’un corps de nombres algébriques $K$ peuvent être déterminées par des éléments tirés de la connaissance de $K$ lui-même; ou, si l’on veut présenter les choses en termes dialectiques, comment un corps possède en soi les éléments de son propre dépassement. (类域论的目标是说明一个数域 $K$ 的 Abel 扩张如何由 $K$ 本身的信息决定.)

Grothendieck’s extension of Galois theory to schemes will, in the context of global fields K, acquire a geometric counterpart of adelic nature. — Alain Connes and Caterina Consani, Knots, primes and class field theory

定义

整体域 $K$ 的 Adèle 环 $\mathbb A_K$ 是其所有完备化的限制积 (restricted product), 即 $\prod_\nu K_\nu$ 中由除有限个位置之外落在整数环 $\mathcal O_\nu$ 中的元素构成的子环.

性质

由于整体域 $K$ 的一个元素在有限个位上赋值非零, 故 $K$ 本身嵌入到 $\mathbb A_K$ 中.