Wiki. “局部系统” [局部系统]

局部系统 (local system) 可作为扭曲上同调 (twisted cohomology) 的系数.

定义

拓扑空间 $X$ 上的局部系统 (local system), 又称局部常值层 $\mathcal L$ 是满足如下条件的层: 每个点 $x$ 都有一个邻域 $U$ 使得 $\mathcal L|_U$ 是某常值预层的层化.

命题. 对于道路连通空间, 局部常值的每个点上的茎都 (在同构意义下) 是 $L$. 局部系统一一对应于同态 $$ \rho\colon \pi_1(X)\to \operatorname{Aut}L, $$ 称为单值表示 (monodromy representation).

证明. 首先, $[0,1]$ 上的局部系统都是常值层, 所以 $X$ 上的环路给出 $L$ 的自同构, 这定义了同态 $\rho\colon \pi_1(X)\to\operatorname{Aut}L$.

反之, 给定 $\rho$, 考虑万有覆盖 $\widetilde X$ 上的常值层 $\underline{L}$, 其中叠变换 (deck transform) 下与 $\rho$ 等变的截面给出 $X$ 上的局部系统 $\mathcal L(\rho)$, $$ \mathcal L(\rho)(U) =\left\{s\in \underline{L}(\pi^{-1}(U)): \theta \circ s = \rho(\theta) s \forall \theta\in \operatorname{Deck}(\widetilde X / X)\right\}. $$ 其中 $\operatorname{Deck}(\widetilde X/X)\simeq\pi_1(X)$.

由此亦可见, 局部常值等价于拉回到万有覆盖上是常值层.

例

设 $V$ 为光滑流形 $X$ 上的向量丛, 配有可积联络 $$ \nabla\colon V\to V\otimes \Omega_X, $$ 则 $V$ 的平坦截面构成局部系统.

进一步, $X$ 上带平坦联络的向量丛的范畴等价于 $X$ 上向量空间局部系统的范畴, 这是 Riemann–Hilbert 对应的例子.

向量丛的联络有纯代数的版本. 然而, 由带平坦联络的向量丛到局部系统的对应在本质上是超越 (transcendental) 的: $X$ 上两点 $x$ 与 $y$ 之间的道路没有纯代数的对应概念.

反思流形上带联络的向量丛, 我们发现 (不严谨地说) 对于足够接近的两点 $x,y$, 有典范的同构 $V_x\simeq V_y$. 而对于代数簇, Grothendieck 的概形理论可以描述无穷接近的点.