Wiki. “Laplace 算子” [Laplace算子]

另见广义 Laplace 算子.

Hodge Laplace 算子

Riemann 流形上的微分形式的 Hodge Laplace 算子 $$ \triangle = (d+\delta)^2=d\delta+\delta d. $$ Laplace 方程 $\triangle f = 0$ 的解称为调和函数或调和形式. 微分形式 $\mu$ 是调和形式等价于 $d\mu=0$ 且 $\delta\mu=0$.

在整个 $M$ 上调和的函数与 $H^0(M)$ 一致, 这是一个非平凡的整体的结论. 更一般的结论是调和形式的 Hodge 理论.

Laplace–Beltrami 算子

Riemann 流形上的函数的 Laplace–Beltrami 算子 $$ \triangle f =\operatorname{div}\operatorname{grad}f= \operatorname{tr}\operatorname{Hess}f $$ 参见 Hesse 矩阵.

使用 Levi-Civita 联络, Laplace–Beltrami 算子可表示为 $$ \triangle f = -g^{ij}\nabla_i\nabla_j f= - \nabla^i \nabla_i f. $$ 使用坐标, Laplace–Beltrami 算子可表示为 $$ \triangle = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \frac{\partial}{\partial x^i} \left(g^{ij} \sqrt{\det g}\frac{\partial}{\partial x^j}\right). $$

Bochner Laplace 算子

对于联络给出的算子 $\nabla\colon \Omega^p(M)\to \Omega^p(M)\otimes \Omega^1(M)$, Bochner Laplace 算子定义为 $$ \triangle ' = \nabla^* \nabla, $$ 其中 $\nabla^*$ 是 $\nabla$ 的伴随.

Weitzenböck 恒等式