Wiki. “Hodge 理论” [Hodge理论]

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Hodge 分解定理, Hodge 定理

实流形的 Hodge 理论

Hodge 理论研究紧流形上的椭圆算子, 如 Laplace 算子. 它告诉我们指标如何翻译成上同调.

调和形式

定理. 紧可定向 Riemann 流形 $M$ 上 $p$ 阶调和形式的空间 $\mathcal H_d^p(M)$ 是有限维的. 对于正交投影 $H_d\colon \Omega^p(M) \to \mathcal H_d^p(M)$, 存在 Green 算子 $G_d\colon \Omega^p\to \Omega^p$, 满足

$G_d H_d = H_d G_d = 0$;
$d G_d = G_d d$, $d^* G_d = G_d d^*$;
$H_d + \triangle_d G_d = \operatorname{id}_{\Omega^p}$.

推论. 紧可定向 Riemann 流形 $M$ 上任一微分形式可分解为一个调和形式, 一个 $d$ 的像与一个 $d^*$ 的像之和. 若 $\alpha$ 为闭形式, 则 $\alpha$ 可分解为一个调和形式与一个 $d$ 的像之和.

推论. $\mathcal H_d^p(M) \simeq H_{\text{dR}}^p(M)$.

关于这个理论, Futaki 教授推荐 F. Warner 的微分几何书.

解析指标

Hodge 理论与算子的解析指标有关.

复流形上全纯向量丛的 Hodge 理论

设 $E\to M$ 为全纯向量丛, 则 $E$-值 $(p,q)$-形式上有算子 $\bar\partial_E\colon \Omega^{p,q}(E)\to \Omega^{p,q+1}(E)$, 满足 $\bar\partial_E^2=0$. 见 Dolbeault 上同调.

定义 $\Omega^{p,q}(E)$ 上的 $\bar\partial$-Laplace 算子 $$ \triangle_{\bar\partial }= \bar\partial \bar\partial ^* + \bar\partial ^*\bar\partial. $$ $\triangle_{\bar\partial }\alpha = 0$ 等价于 $\bar\partial \alpha = 0$ 且 $\bar\partial ^* \alpha = 0$.

定理. (Hodge–Kodaira) 考虑正交投影 $H_{\bar\partial }\colon \Omega^{p,q}(E)\to \mathcal H^{p,q}_{\bar\partial }(E)$, 存在 Green 算子 $G_{\bar\partial }\colon \Omega^{p,q}(E)\to \Omega^{p,q}(E)$ 满足

$G_{\bar\partial }H_{\bar\partial }=H_{\bar\partial }G_{\bar\partial }=0$;
$\bar\partial G_{\bar\partial } = G_{\bar\partial }\bar\partial$;
$H_{\bar\partial }+ \triangle_{\bar\partial }G_{\bar\partial }=\operatorname{id}_{\Omega^{p,q}(E)}$.

推论. $\bar\partial$-闭形式可分解为一个 $\bar\partial$-调和形式与一个 $\bar\partial$ 的像的和.

推论. $\mathcal H_{\bar\partial }^{p,q}(E)\simeq H^{p,q}_{\bar\partial }(E)$.

复射影簇的 Hodge 理论

设 $X$ 为复射影流形, 即 $\mathbb CP^n$ 的闭子流形 (参见代数簇), 那么 $X$ 继承 $\mathbb CP^n$ 上的 Riemann 度量而成为 Kähler 流形. 此时 Hodge 定理给出 $$ H^r(X,\mathbb C) \simeq \bigoplus_{p+q=r}H^{p,q}(X). $$ 其中 Dolbeault 上同调 $H^{p,q}(X)$ 等于凝聚层上同调 $$ H^{p,q}(X)\simeq H^q(X,\Omega^p), $$ $\Omega^p$ 为全纯 $p$-形式层.

Hodge 理论给出了小平消失定理在代数几何上的应用.