Wiki. “小平消失定理” [小平消失定理]

陈述

设 $M$ 是紧 Kähler 流形, $L\to M$ 是全纯线丛, 第一陈类 $c_1(L) <0$ (意思是存在 Hermite 向量丛 $h$ 使得 $- \frac{i}{2\pi} \partial \bar\partial h$ 是负定形式), 则 $$ H^0 (M, \mathcal O(L)) = 0. $$

另一陈述是, 若 $L$ 是正线丛, $K_M$ 是典范丛, 则 $$ H^q(M, K_M \otimes L) = 0\, (q>0). $$

代数几何版本

小平消失定理可不依赖于 Kähler 度量等超越对象, 用纯代数几何的方式表述. 正线丛在代数几何上对应丰沛线丛.

证明

设 $L$ 上有 Hermite 结构 $h$, 设 $-\partial \bar\partial \log h = \gamma_{i\bar j} dz^i \wedge d\bar z^j$, 其中 $(\gamma_{i \bar j})$ 为负定矩阵.

设 $\nabla$ 是由 $h$ 和 基本形式 $\omega$ 决定的联络.

设 $e_1$ 为局部标架, $s = s^1 e_1$. 那么 $$ \begin{aligned} 0&\leq \int_M |\nabla s|^2 \omega^m\\ &=\int_M g^{i \bar j} \nabla_i s^1 \overline{\nabla_j s^1} \,\omega^m\\ &= - \int_M g^{i \bar j} \nabla_{\bar j}\nabla_i s^1 \overline{s^1} \,\omega^m\\ &= - \int_M g^{i \bar j} \big( \nabla_i \underbrace{\nabla_{\bar j}s^1}_{=0} + \gamma_{\bar j i}{}^1{}_1 s^1 \big)\overline{s^1}\, \omega^m\\ &=\int_M g^{i \bar j} \gamma_{i \bar j}s^1 \overline{s^1}\,\omega^m\leq 0, \end{aligned} $$ 因此只有 $s \equiv 0$.