Wiki. “Hodge 星算子” [Hodge星算子]

固定复 $n$ 维流形上的 Hermite 度量 (即同构 $\overline{T^*X}\simeq TX$), 可得 $(p,q)$-形式与 $(n-p,n-q)$-形式的对应: $$ \begin{aligned} &\wedge^p T^*X \otimes \wedge^q \overline{T^*X}\\ \simeq&\wedge^p T^*X \otimes \underbrace{\wedge^n TX \otimes \wedge^n T^*X}_{\text{平凡}} \otimes \wedge^q \overline{T^*X}\\ \simeq & (\wedge^p T^*X \otimes \wedge^n TX)\otimes (\wedge^q \overline{T^*X} \otimes \wedge^n \overline{TX})\\ \simeq & \wedge^{n-p}TX\otimes\wedge^{n-q}\overline{TX}. \end{aligned} $$ 最后一步用到了配对 $$ \wedge^p T^*X \otimes \wedge^{n-p}T^*X \overset{\wedge}{\longrightarrow} \wedge^n T^*X, $$ 配对的非退化性可用 Serre 对偶证明.

取向量丛 $E$ 上的 Hermite 结构 $\psi\colon E \overset{\simeq}{\to}\overline{E^*}$. 定义 $$ \#\colon E\otimes \mathcal A^{p,q} \to E^*\otimes \mathcal A^{n-p,n-q},\quad \# = \psi\otimes \overline{\star}. $$ 且 $\widetilde \# = \psi^{-1}\otimes\overline{\star}$. 定义 $$ \vartheta = - \widetilde {\#} \bar\partial \#. $$ $$ \begin{array} {ccc} E\otimes \mathcal A^{p,q} & \to & E^*\otimes \mathcal A ^{n-p,n-q}\\ \hspace{-1em}-\vartheta\downarrow && \downarrow\bar{\partial}\hspace{-1em}\\ E\otimes \mathcal A^{p,q-1} & \to & E^*\otimes \mathcal A ^{n-p,n-q+1} \end{array} $$ 定义内积 $$ (\alpha,\beta) = \int_X \alpha\wedge\#\beta, $$ 则 $\vartheta$ 是 $\bar\partial$ 的伴随.