Wiki. “Serre 对偶” [Serre对偶]

Serre 对偶是 Poincaré–Verdier 对偶在凝聚层上同调中的类比.

李归农在知乎回答中指出 Serre 对偶完全是导出范畴的性质.

Wiki: According to Grothendieck’s relative point of view, the theory of Jean-Pierre Serre was extended to a 紧合映射; Serre duality was recovered as the case of the morphism of a non-singular projective variety to a point.

初见

设 $X$ 是 $k$ 上的不可约光滑射影 $n$ 维代数簇, 则存在可逆层 $\omega_X$, 使得对任意局部自由有限秩层 $\mathcal F$, $$ h^i(X,\mathcal F) = h^{n-i}(X,\omega_X\otimes \mathcal F^\vee). $$ 且有完美配对 $$ H^i(X,\mathcal F)\otimes H^{n-i}(X,\omega_X\otimes \mathcal F^\vee)\to H^n(X,\omega_X) = k. $$ 对于曲线 $C$ 有 $$ h^1(C,\mathscr L)=h^0(C,\omega_C\otimes\mathscr L^\vee), $$ Riemann–Roch 定理可表达为 $$ h^0(C,\mathscr L)-h^0(C,\omega_C\otimes\mathscr L^\vee)=\deg\mathscr L - p_a(C) +1. $$

定理 设 $X$ 是射影概形, Cohen–Macauley, 则存在 $\omega_X$ (dualizing), 使得 $$ H^i(X,F)^* \simeq \operatorname{Ext}_{\mathcal O_X}^{n-i}(F,\omega_X). $$ 对于光滑的射影概形, $\omega_X$ 可定义为典范丛 $\wedge^n \Omega^1_{X/k}$.

设 $\mathcal E$ 局部自由有限秩, 则 $$ H^i(X,\mathcal E)^* \simeq \operatorname{Ext}_{\mathcal O_X}^{n-i} (\mathcal E,\omega_X) \simeq \operatorname{Ext}_{\mathcal O_X}^{n-i}(\mathcal O_X,\mathcal E^*\otimes \omega_X) \simeq H^{n-i}(X,\mathcal E^*\otimes\omega_X). $$ 对于复向量丛, 考虑 Dolbeault 上同调 $A^{0,\bullet}\mathcal E$, $$ H^i(\mathcal E) = H^i\Gamma (A^{0,*},d''). $$ $$ \Gamma(A^{0,i})' = K_c^{n,n-i}(\mathcal E^*) $$ $\Omega^n\otimes\mathcal E^*$ 被 $K^{n,*}_{\text{c}}$ (紧支集分布 ?) 消解.

一般结论

Grothendieck 的做法来源于对直像 $f_*$ 的右伴随的探索 (它的左伴随是拉回).

对于 $n$ 维光滑射影概形 $X$,