Wiki. “Riemann–Roch 定理” [Riemann--Roch定理]

复分析中, Riemann–Roch 定理描述了给定零点与可能极点的亚纯函数空间的维数. 它将紧 Riemann 面上的复分析与其亏格联系起来.

Riemann–Roch 定理将代数或解析簇 $X$ 上局部自由层 $E$ 的 Euler 示性数表示为 $E$ 与 $X$ 的示性类.

Riemann–Roch 定理与 Mittag-Leffler 问题有关.

陈述

对亏格为 $g$ 的紧Riemann 面 $C$ 上的全纯向量丛 $E$, $$ \chi(C,E) = \deg(E) + \operatorname{rk}(E)(1-g). $$

对正则性射影曲线 $C$ 上的除子 $D=\sum a_{p}\cdot (p)$, 定义 $\deg D=\sum a_p \deg p$, $$ \chi(C,\mathcal O_C(D))=\deg D + \chi(C,\mathcal O_C). $$

对亏格为 $g$ 的紧 Riemann 面 $M$ 上的任意除子 $D$, $H^\bullet(M,\mathcal{O}_D)$ 均为有限维, 且 $$ \chi(H^\bullet(M,\mathcal{O}_D)) -\deg D= 1-g. $$

推广

Hirzebruch–Riemann–Roch 定理, Grothendieck–Riemann–Roch 定理