Wiki. “形变” [形变]

定义

设 $X$ 是光滑 $k$-代数簇, $(Y,y_0)$ 是带基点概形. $X$ 在 $(Y,y_0)$ 上的形变是一个平坦紧合映射 $\mathcal X\to Y$ 与一个同构 $\psi\colon X\to \varphi^{-1}(y_0)$.

一阶无穷小形变是 $(\operatorname{Spec}k[x]/(x^2),(x))$ 之上的形变.

曲线的无穷小形变

曲线 $C$ 的无穷小形变的空间即为模空间的切空间, 由此可计算模空间的维数. 由 Serre 对偶, $$ H^1(C,T_C) \simeq H^0 (C,T^\vee_C\otimes\omega_C)^\vee \simeq H^0(C,\omega_C^{\otimes 2}), $$ 后一个等式是因为 $T_C^\vee=\omega_C$; 又由 Riemann–Roch 定理, $$ \dim H^0 (C,\omega_C^{\otimes 2})- \dim H^1(C,\omega_C^{\otimes 2})=\deg(\omega^{\otimes 2})+g-1=3g-3, $$ 又因为 $H^1(C,\omega_C^{\otimes 2})=0$ (为什么?), 所以曲线模空间的维数为 $$ \dim H^1(C,T_C)=3g-3. $$