Wiki. “示性类” [示性类]

上同调的引进就是为了示性类. — Yau, 2023年3月2日于院长讨论班

极大环面

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设 $G$ 为紧 Lie 群, $T$ 为极大环面, 则有分类空间的映射 $BT \to BG$. 设 $T$ 的维数为 $n$, 则有 $BT\simeq \mathbb{C}P^\infty\times \cdots\times \mathbb{C} P^\infty$, $$ H^{**}(BT)\simeq \mathbb Z[x_1,\cdots,x_n](x_1,/cdots,x_n.md),\ x_i\in H^2. $$ Weyl 群 $\Phi=N(T)/T$ 作用在 $T$ 上, 从而也作用在 $BT$ 上. Borel 定理指出映射 $$ i^*\colon H^{**}(BG)\to H^{**}(BT) $$ 是单射, 且其像恰为 $\Phi$ 作用的不动点.

例

$H^{**}(BU_n)=\mathbb{Z}[c_1,\cdots,c_n](c_1,/cdots,c_n.md)$, 其中陈类 $c_k$ 为 $x_1,\cdots,x_n\in H^{**}(BT)$ 的 $k$ 次基本对称多项式.

$H^{**}(BSp_n)=\mathbb{Z}[\sigma_1,\cdots,\sigma_n](/sigma_1,/cdots,/sigma_n.md)$, 其中 $\sigma_k$ 为 $x_1^2,\cdots,x_n^2\in H^{**}(BT)$ 的 $k$ 次基本对称多项式.