Wiki. “陈特征” [陈特征]

陈特征是一种示性类, 它定义了环同态 $K(X)\to \prod_k H^k(X;\mathbb Q)$. 它将丛的直和对应到上同调的和, 将丛的张量积对应到上同调的积.

定义

对向量丛 $E\to X$, 任取其上的联络, 记 $R^E$ 为其曲率形式, $$ \operatorname{ch}(E) = \big[ \operatorname{tr} \exp \big(\frac{i}{2\pi}R^E\big)\big]\in H^{\text{even}}(X,\mathbb{R}). $$

对于线丛 $\xi$, $\operatorname{ch}(\xi)=e^{c_1(\xi)}$, 其中 $c_1$ 为第一陈类.

对于秩为 $r$ 的局部自由层 $E$, 若

概形

对于光滑拟射影概形 $X$, 考虑凝聚层 的有界复形 Grothendieck 群 $K_0(X)$, 陈特征是 $K_0(X)$ 到周环的函子性的同态 $$ \operatorname{ch}\colon K_0(X)\to A(X,\mathbb Q). $$

Todd 类

nLab

设 $V\to X$ 是紧拓扑空间上的复向量丛. Todd 类 $\operatorname{Td}(V)\in H^{\text{ev}}(X,\mathbb Q)$