Wiki. “Todd 类” [Todd类]
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Todd 类是一种乘性序列, 其特征幂级数为 $$ Q(x) =\frac{x}{1-e^x} = 1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}+\cdots. $$ 对于 $X$ 上的复向量丛 $E,F$, $\operatorname{td}(E\oplus F) = \operatorname{td}(E)\operatorname{td}(F)$.
由 Hirzebruch–Riemann–Roch 定理, Dolbeault 上同调的解析指标等于 Todd 类 (Todd class 或 Todd genus).
例
线丛
线丛的 Todd 类 $$ \operatorname{td}(L) = \frac{c_1(L)}{1- \exp (-c_1(L))}. $$
代数曲线
对于代数曲线 $X$, 其 Todd 类为 $\operatorname{Td}(X)= 1+ c_1(TX)$.
代数簇
对于代数簇 $X$, 定义 $\operatorname{Td}(X)=\operatorname{td}(T_X)$, 其中 $T_X$ 为 $X$ 的切丛.
与 A-hat 类的关系
在近复流形 $M$ 上, Todd 类与 A-hat 类相差 $e^{c_1/2}$.