Wiki. “解析指标” [解析指标]

Fredholm 算子 $F$ 的解析指标定义为其核的维数与余核的维数之差 (假设二者均有限), 即 $$ \operatorname{ind}F=\dim\ker F - \dim \operatorname{coker}F. $$ 解析指标可视为将核的维数修正为一个同伦不变量.

Fredholm 算子 $F$ 的解析指标也可视为复形 $$ \cdots\to 0 \to H \overset{F}{\to} H \to 0 \to \cdots $$ 的 Euler 数.

椭圆算子是 Fredholm 算子, 其核与余核均为有限维空间, 从而可定义解析指标. 更一般地, 设 $(E_p,D_p)$ 为椭圆复形, 其解析指标为 $\displaystyle \sum_p (-1)^p \dim\ker D_p$.

蛇引理

定理. (蛇引理) 设有如下短正合列的态射, 其中 $F,F',F''$ 均为 Fredholm 算子. $$ \begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & H_1 & \to & H_1' & \to & H_1'' &\to & 0\\ & & \downarrow F\hspace{-1em} & & \downarrow F'\hspace{-1.1em} & & \downarrow F''\hspace{-1.2em} & &\\ 0 & \to & H_2 & \to & H_2' & \to & H_2'' &\to & 0 \end{array} $$ 那么 $$ \operatorname{ind}F-\operatorname{ind}F'+\operatorname{ind}F''=0. $$ 下面给出上述定理的应用.

命题. 对于有限秩算子 $K\colon H\to H$ (即 $\dim\operatorname{im}K$ 有限) 有 $\operatorname{id}+K$ 是 Fredholm 算子且其指标为 $0$.

证明. 对短正合列 $0\to \operatorname{im}K \to H \to \operatorname{coker}K\to 0$ 到自身的态射 $\operatorname{id}+K$ 使用蛇引理, 可得三个指标的关系; 左边的指标等于 $0$ 是因为 $\operatorname{im}K$ 为有限维空间, 右边的指标等于 $0$ 是因为 $\operatorname{id}+K$ 在 $\operatorname{coker}K$ 上等于恒等算子.

同伦不变性

Dirac 算子的指标性质很好.