Wiki. “Atiyah–Singer 指标定理” [Atiyah--Singer指标定理]

定理陈述

指标

一般的指标定理的陈述为: 椭圆微分算子的拓扑指标等于解析指标.

指标定理在流形上整体地描述微分方程的拓扑.

Nicolaescu 讲义中的陈述

[[[Nicolaescu] Notes on the Atiyah-Singer Index Theorem.pdf]] 设 $E$ 为 Dirac 丛, $D$ 为 Dirac 算子, $F^{E/\mathbb S}\in \operatorname{End}_{\mathrm{Cl}(M)}(E)$ 为曲率 (twisting curvature), 定义陈特征 $$ \operatorname{ch}^{E/\mathbb S}:= \operatorname{str}^{E/\mathbb S} \exp\left(\frac{i}{2\pi} F^{E/\mathbb S}\right) \in\Omega^\bullet(M), $$ A-hat 类 $$ \widehat{A}(M)=\det \left(\frac{\frac{i}{4\pi}R}{\sinh (\frac{i}{4\pi}R)}\right)^{1/2}, $$ 那么 Atiyah–Singer 定理为 $$ \operatorname{ind}D=\dim\ker D -\dim\ker D^* =\int_M \widehat{A}(M) \operatorname{ch}^{E/\mathbb S}(E). $$

Morgan 书中的介绍

(John W. Morgan, The Seiberg–Witten Equations and Applications …, 3.3 节)

设 $X$ 为闭可定向 Riemann 四维流形, $\widetilde P$ 是 $X$ 上的自旋结构, $\partial \hspace{-5pt}/$ 为复旋量丛 $S_{\mathbb{C}}^+(\widetilde P)$ 到 $S_{\mathbb{C}}^-(\widetilde P)$ 的 Dirac 算子, 由其象征可计算其解析指标如下.

回忆对于 $\pi\colon T^*X\to X$, 象征是 $T^*X$ 上的向量丛 $\pi^* S^+$ 到 $\pi^* S^-$ 的丛同态. 这个丛同态在 $T^*X\setminus X$ (减去零截面) 上的限制是丛的同构. 因此, 象征给出了 $T^*X$ 相对于 $T^*X\setminus X$ 的相对 K-群 (拓扑)的一个元素. Atiyah–Singer 指标定理即是说, 由这个相对 K-理论的元素可计算出解析指标.