Wiki. “A-hat 类” [A-hat类]

A-hat 类是如下 Dirac 算子的指标: $$ c\circ\nabla\colon\Gamma(S^+)\to \Gamma(S^-), $$ 其中 $S=S^+\oplus S^-$ 为自旋流形 $X$ 上的旋量丛, $c$ 为 Clifford 代数到外代数的象征映射, $\nabla$ 为旋量丛上的协变导数.

A-hat 类自然地在 $SO_n$-主丛的指数映射 (Lie 群)的 Jacobi 行列式中出现. 这个 Jacobi 行列式依赖于底流形的曲率, 可逐纤维地计算; 这里会出现 $j$-函数 $$ j(X)=\frac{\sinh (X/2)}{X/2}. $$

在近复流形上, A-hat 类与 Todd 类只相差 $e^{c_1/2}$.

与曲率的关系

设 $M$ 是 $2n$ 维紧可定向 Riemann 流形, $R$ 为曲率形式, 则 $$ \widehat{A}(M)=\det \left(\frac{R/2}{\sinh R/2}\right)^{1/2}. $$ (有的定义将这里的 $R$ 替换为 $R/(2\pi i)$.) 它是一个闭形式, 且不依赖于 Riemann 度量的选取.

乘性序列

A-hat 类来自以 $\displaystyle \frac{\frac{1}{2}\sqrt{z}}{\operatorname{sinh}(\frac{1}{2}z)}$ 为特征幂级数的乘性序列.