Wiki. “曲率形式” [曲率形式]

活动标架

设 $\omega$ 为某个活动标架 $(e_i)$ 的联络 $1$-形式 (矩阵值), 则曲率 $2$-形式 (矩阵值) 为 $$ \Omega = d\omega + \omega \wedge \omega. $$ (符号因左右习惯而异.)

曲率张量 $R(X,Y)=\nabla_X\nabla_Y -\nabla_Y\nabla_X - \nabla_{[X,Y]}\in C^\infty(M,\operatorname{End}(E)\otimes\wedge^2 M)$ 满足$$ \begin{aligned} R(X,Y)e&=\nabla_X(\omega(Y)e)+\cdots\\ &=X\omega(Y)e+\omega(Y)\omega(X)e-Y\omega(X)e-\omega(X)\omega(Y)e-\omega([X,Y])e\\ &= (d\omega)(X,Y)e-(\omega\wedge\omega)(X,Y)e\\ &= \Omega(X,Y)e. \end{aligned} $$ (此处视 $e$ 为列向量.) 换言之, $\Omega$ 为 $R$ 在基 $e$ 上的矩阵表示.

主丛上的曲率

对于主丛 $P\to M$ 上的联络 $\omega\in\Omega^1(P,\mathfrak{g})$, 它的曲率形式定义为 $$ \Omega = d\omega + \omega \wedge \omega. $$