Wiki. “陈–Gauss–Bonnet 定理” [陈--Gauss--Bonnet定理]

设 $M$ 为紧可定向 $2n$ 维 Riemann 流形, $\Omega$ 为 $M$ 上的曲率形式, 则 $M$ 的 Euler 示性数可由曲率形式的 Pfaffian 计算: $$ \chi(M) = \frac{1}{(2\pi)^n}\int_M \operatorname{Pf}(\Omega). $$ 这个结论是 Atiyah–Singer 指标定理的特例.

$\dfrac{1}{(2\pi)^n}\operatorname{Pf}(\Omega)$ 是流形 $M$ 的 Euler 类. 它不依赖于 $M$ 上 Riemann 度量的选取.