Wiki. 乘性序列 [乘性序列]

定义

乘性序列的定义完全是形式上的. 设 $A$ 为含幺交换环. 考虑分次环 $A[x_1,x_2,\cdots]$, 其中 $x_k$ 视为 $k$ 次元素. 乘性序列 $K$ 是一系列多项式 $\{K_j\}$, 满足 $$ K \colon \sum_i p_i z^i \to \sum_j K_j(p_1,\cdots,p_j) z^j $$ 是形式幂级数环 $A[x_1,x_2,\cdots][[z]]$ 到自身的乘法半群同态. 其中 $p_i\in A[x_1,x_2,\cdots]$ 为 $i$ 次元素, 且满足 $K_j(p_1,\cdots,p_j)$ 为 $j$ 次元素.

乘性序列 $K$ 的特征幂级数定义为 $$ Q(z) := K(1+z)=\sum_j K_j(1,0,\cdots,0) z^j \in A[[z]]. $$

性质

引理. 乘性序列 $K$ 由其特征幂级数 $Q(z)=K(1+z)$ 完全确定.

证明. 任意取定正整数 $m$. 设 $s_k$ 为 $x_1,\cdots,x_m$ 的 $k$ 次基本对称多项式, 对于 $j>m$ 令 $s_j=0$. 那么 $$ 1+ s_1 z +\cdots + s_m z^m = \prod_{i=1}^m (1+ x_i z). $$ 两边应用 $K$ 得 $$ \sum_{j\geq 0} K_j(s_1,\cdots,s_j) z^j = \prod_{i=1}^m Q(x_iz). $$ 对于 $1\leq j\leq m$, 上式两边 $z^j$ 的系数为 $x_1,\cdots,x_m$ 的对称多项式. 由对称多项式基本定理知 $K_j$ 唯一确定. 由 $m$ 的任意性, 知乘性序列 $K$ 唯一确定.

Pontryagin 类与陈类

乘性序列最早用于陈类和 Pontryagin 类. 引入关系 $$ z=x^2,\quad \sum_{i\geq 0} p_i (-z)^i = \left(\sum_{j\geq 0} c_j (-x)^j\right)\left(\sum_{j\geq 0} c_j x^j\right). $$ 设 $\{K_j\}$ 以 $Q(z)$ 为特征幂级数, $\{\widetilde{K}_j\}$ 以 $\widetilde{Q}(x)=Q(x^2)$ 为特征幂级数, 则有 $$ K_j(p_1,\cdots,p_j)=\widetilde{K}_j (c_1,\cdots,c_{2j}). $$