Wiki. “Grothendieck–Riemann–Roch 定理” [Grothendieck--Riemann--Roch定理]

Grothendieck–Riemann–Roch 定理描述了陈特征沿着紧合映射 (proper map) $f\colon X\to Y$ 的前推与自然性的差距, 其 “矫正项” 与 Todd 类有关, 仅取决于 $X$ 和 $Y$ 本身.

这个定理可视为 Hirzebruch–Riemann–Roch 定理的相对版本.

设 $f\colon X\to Y$ 是光滑代数簇的紧合映射.

令 $K(X)$ 为 $X$ 上的凝聚层或局部自由层的 Grothendieck 环 (见 K-理论), 定义同态 $f_k\colon K(X)\to K(Y)$ 为态射 $f$ 的导出前推的交错和 $$ f_k(F):=\sum (-1)^q R^q f_* F. $$ Wiki 叙述的定理考虑的是 $f_!=\sum (-1)^i R^i f_*\colon K_0(X)\to K_0(Y)$, 其中 $K_0(X)$ 是凝聚层的有界复形的 Grothendieck 群.

考虑周环的推出映射 $f_*\colon A(X)\to A(Y)$.

定理 (Grothendieck) 对任意 $\alpha\in K(X)$, $$ \operatorname{ch}(f_k\alpha) \operatorname{td}(T_Y) = f_*(\operatorname{ch}(\alpha)\operatorname{td}(T_X)). $$

Euler 示性数 $\chi(X,F)$ 可用陈特征表示. 当 $Y$ 是一个点时, $$ \chi(X,F)= \operatorname{ch}\Big(\sum (-1)^q H^q(X,F)\Big). $$