Wiki. “Hirzebruch–Riemann–Roch 定理” [Hirzebruch--Riemann--Roch定理]

Hirzebruch–Riemann–Roch 定理是整体复 (代数) 几何中一个十分有用的定理. 它是 Riemann–Roch 定理的推广, 可视为 Grothendieck–Riemann–Roch 定理中 $Y$ 为一个点且基域为 $\mathbb{C}$ 的情形.

对于紧复流形 (或概形) 上的全纯向量丛 (或一般的凝聚层), 其 Euler 示性数, 即凝聚层上同调的交错和 (对于平凡丛即 Dolbeault 上同调的解析指标), 等于 Todd 类与陈特征之积: $$ \chi(\mathcal F) =\int_M \operatorname{ch}(\mathcal F)\wedge \operatorname{td}(TM). $$ (积分表示取最高维上同调)

曲线的情形

对于曲线 $X$ 上的除子 $D$,

• 可逆层 $\mathcal O(D)$ 的陈特征是 $1+c_1(\mathcal O(D))$,
• 曲线 $X$ 的 Todd 类是 $1+c_1(TX)/2$,
• $h^0(\mathcal O(D))$ 就是 $l(D)$,
• $h^1(\mathcal O(D))$ 由 Serre 对偶等于 $l(K-D)$, 其中 $K$ 是典范除子.