Wiki. “Hirzebruch 指标定理” [Hirzebruch指标定理]

Hirzebruch 指标定理揭示了两个配边不变量, 即流形的指标和 Pontryagin 数的关系. 它可用于证明 Hirzebruch–Riemann–Roch 定理.

Hirzebruch 指标定理的另一表述

记 Riemann 流形 $M$ 上的偶数维与奇数维微分形式的空间分别为 $\Omega^{\text{even}}, \Omega^{\text{odd}}$. 考虑两个微分算子 $$ \begin{aligned} D_0=d+\delta &: \Omega^{\text{even}}\to \Omega^{\text{odd}},\\ D_1=d+\delta &: \Omega^{\text{odd}} \to \Omega^{\text{even}}. \end{aligned} $$ 注意到 Laplace 算子 $\triangle$ 在偶分量和奇分量分别等于 $D_1D_0$ 和 $D_0D_1$. 由 Hodge 理论, $$ \begin{aligned} \dim \ker D_0 &= \sum_i \dim H^{2i}(M),\\ \dim \ker D_1 &= \sum_i \dim H^{2i+1}(M). \end{aligned} $$ 因此 $$ \dim\ker D_0 - \dim\ker D_1 = \chi(M). $$ 上式的左端可用 $D_0$ 表示. 首先注意到如下命题:

命题. $\operatorname{im}\triangle\big|_{\Omega^{\text{even}}} = \operatorname{im}D_0$.

证明. 一方面, 显然 $\operatorname{im}\triangle\big|_{\Omega^{\text{even}}}\subset \operatorname{im}D_0$. 另一方面, 由 Hodge 理论以及调和形式的性质, $$ \Omega^\bullet = \ker\triangle\oplus \operatorname{im}\triangle, $$ $$ \Omega^{\text{even}}=\ker \triangle\big|_{\Omega^{\text{even}}}\oplus \operatorname{im}\triangle\big|_{\Omega^{\text{even}}}=\ker D_0\oplus \operatorname{im}\triangle\big|_{\Omega^{\text{even}}}. $$ 而 $D_0$ 与 $\triangle$ 可交换, 故得 $$ \operatorname{im}D_0 \subset \operatorname{im} \triangle\big|_{\Omega^{\text{even}}}. $$ 命题. $\operatorname{coker}D_0 = \ker D_1$.

证明. 由 Hodge 分解定理, $$ \Omega^{\text{odd}}= \ker\triangle\big| $$ $$ \operatorname{coker}D_0=\Omega^{\text{odd}}/\operatorname{im}D_0=\Omega^{\text{odd}}/ \operatorname{im}\triangle\big|_{\Omega^{\text{even}}} = \mathscr{H} \cap \Omega^{\text{odd}}=\ker D_1, $$ 所以 $$ \dim \ker D_0 - \dim \operatorname{coker}D_0 = \chi(M). $$