Wiki. “调和形式” [调和形式]

实的情形

Riemann 流形上的微分形式的 Laplace 算子 定义为 $\triangle = (d+\delta)^2$, 其中 $\delta$ 是 $d$ 的伴随. 由定义, $d+\delta$ 与 $\triangle$ 为自伴算子.

调和形式是指满足 $\triangle \mu=0$ 的微分形式 $\mu$. 若 $\triangle \mu=0$, 则 $$ 0=(\triangle\mu,\mu)=((d+\delta)\mu,(d+\delta)\mu), $$ 故 $(d+\delta)\mu =0$.

复的情形

复流形上 $\alpha$ 是调和 $(0,1)$-形式当且仅当 $$ \bar\partial \alpha = 0, \quad \bar\partial ^* \alpha = 0. $$