Wiki. “亏格” [亏格]

亏格 (genus) 有多种含义, 它们之间联系紧密.

拓扑亏格

连通可定向曲面的亏格是其 “洞” 的数量. 球面的亏格为 $0$, 环面的亏格为 $1$.

带边曲面的亏格与欧拉数的关系为 $$ \chi = 2-2g-b, $$ 其中 $b$ 为边界的连通分支数.

对于Riemann 面, 其拓扑亏格, 算数亏格, 几何亏格三者相等.

算数亏格

定义概形 $X$ 的算数亏格 (arithmetic genus) 为 $$ p_a(X) = 1-\chi(X,\mathcal O_X). $$ 对于代数闭域上的整射影曲线, $h^0(X,\mathcal O_X)=1$, 故 $p_a(X)= h^1(X,\mathcal O_X).$ (高维的情形, 后者不是特别自然.)

正则不可约射影复曲线对应的 Riemann 面的亏格 $g=p_a$.

几何亏格

$k$ 上的正则不可约射影曲线 $C$ 的几何亏格 (geometric genus) 为 $h^0(C,\Omega_{C/k})$.

推广到高维情形, 设 $X$ 是 $k$ 上的 $n$ 维光滑代数簇, 考虑典范丛 $$ \mathscr K_{X/k} := \det \Omega_{X/k} = \Omega_{X/k}^n, $$即 “体积形式” 的层 (当 $X$ 为射影簇时它是 Serre 对偶中的 $\omega_X$). $X$ 的几何亏格定义为 $$ p_g(X) := h^0(X,\mathscr K_{X/k}). $$