Wiki. “Gromov–Witten 不变量” [Gromov--Witten不变量]

一种来自量子物理的曲线计数 (curve counting) 理论.

物理图景

以下是 Artan Sheshmani 的 BIMSA 公开课的笔记.

远大愿景: 将量子力学与 Einstein 引力理论融合起来, 建立一个严格的数学模型.

弦论构造的宇宙是 $4$ 维时空上附着的 $6$ 维 (Calabi–丘流形) 纤维丛. 微观粒子向 $6$ 维的纤维方向的扩张 (extension) 由 $1$ 维的曲线即 “弦” 给出, 不同粒子对应的弦的振动方式不同.

我们需要研究弦的量子相互作用 (quantum interaction). Feynmann 图和 Feynmann 路径积分描述了粒子的量子相互作用. 而在弦论中, 弦的移动给出管状的 $2$-维曲面 (“世界面”), 其上有 Riemann 度量, 事实上是一个 Riemann 面. 此时的 Feynmann 路径积分是在所有 (Calabi–丘流形中的) Riemann 面的模空间上进行的. 不幸的是, 这个积分不良定义, 因为其中与路径的几何性质 (引力) 相关的一个测度会在有奇点的路径 (如 Riemann 面生出一个无穷长细圆柱) 处爆炸. 补救的方法是研究弦论的拓扑版本, 即允许路径的 (保持拓扑性质的) 光滑化, 又称重整化 (renormalizing). 背景的 Calabi–丘流形的几何 (复结构, Kähler 流形) 经历着不断的 (引力) 形变 (deformations, fluctuations). 我们希望路径积分在形变之下不变, 这便是 Gromov–Witten 不变量.

稳定性

稳定性是指自同构群有限.

事实. 设 $C$ 为光滑复不可约射影曲线, 亏格为 $g$,

• 若 $g=0$, 则 $C\simeq \mathbb P^1$, $\operatorname{Aut}(\mathbb P^1)\simeq PGL_2(\mathbb{C})$, 自同构太多了, 我们不喜欢;