Wiki. “椭圆曲线的模问题” [椭圆曲线的模问题]

$\mathbb{C}$ 上的椭圆曲线由其周期完全刻画. 给定 $H^1(E;\mathbb{Z})$ 的一组 $\mathbb{Z}$ 基 $\alpha,\beta$ 以及全纯 $1$-形式 $\omega\in\Gamma(E,\Omega_E^1)$ (这个空间的维数等于亏格 $1$), 积分值 $$ \Big[\int_\alpha\omega, \int_\beta\omega\Big] = [\omega_1,\omega_2] $$ 生成了 $\mathbb{C}$ 中的 $2$ 阶格子. 反之, 给定格子 $\Lambda$, 复环面 $C / \Lambda$ 是一个椭圆曲线.

将格子 $\Lambda$ 写为 $\mathbb{Z} + \mathbb{Z}\tau$, $\tau\in \mathbb H=\{z\in\mathbb{C}\colon \operatorname{im}z>0\}$ 是上半平面中的点, 于是上半平面 $\mathbb H$ 成为 $\mathbb{C}$ 上椭圆曲线的参数空间.

进一步, 考虑 $SL_2(\mathbb{Z})$ 作用导致的椭圆曲线的等价关系

相关概念

椭圆曲线的模叠