Wiki. “de Rham 定理” [deRham定理]

陈述

设 $X$ 为实流形, 则常值层 $\mathbb{R}$ 的 层上同调 $$ H^p(X, \mathbb{R}) \simeq H^p_{dR}(X). $$

证明

考虑 $p$-形式层 $\mathcal A^p$, 则有常值层 $\mathbb{R}$ 的细层消解 $$ 0 \to \mathbb{R} \to \mathcal A^0 \to \mathcal A^1 \to \cdots $$ (其正合性是由于 Poincaré 引理), 故由细层消解的性质, $$ H^p(X,\mathbb{R}) \simeq H^p(\Gamma(\mathcal A^\bullet)). $$

相关概念

Hodge 理论, Dolbeault 上同调