Wiki. “细层” [细层]

EoM

定义

若 Abel 群层 $\mathcal F$ 具有 “单位分解”, 即对任意开覆盖 $\{U_i\}$ 存在一族 (局部有限的) 自同态 $h_i$, 使得 $\operatorname{supp} h_i \subset U_i$, $\sum h_i = \operatorname{id}$, 则称其为细层 (fine sheaf).

性质

细层的 $1$ 阶及更高层上同调消失.

细消解

层 $\mathcal S$ 的细消解是指正合列 $$ 0\to \mathcal S \to \mathcal F_0 \to \mathcal F_1 \to\cdots, $$ 其中 $\mathcal F_i$ 是细层.

定理 $$ H^p(X,\mathcal S)= H^p(\Gamma(X,\mathcal F_{\bullet})). $$ 证明. 考虑 $$ 0\to Z_{p-1} \to \mathcal F_{p-1} \overset{d}{\to} Z_p \to 0 $$ 诱导的长正合列, 得 $H^q(Z_p) \simeq H^{q+1}(Z_{p-1})$. 从而 $H^p(S)=H^p(Z_0) = H^1(Z_{p-1})$.

又由长正合列 $H^0(\mathcal F_{p-1}) \to H^0 (Z_p) \to H^1(Z_{p-1})\to 0$, 知 $H^1(Z_{p-1}) \simeq H^p (\Gamma(X,\mathcal F_{\bullet}))$.

例

近复结构上的光滑 $(p,q)$-形式层是细层, 但复流形上的全纯函数层不是细层.