Wiki. “代数簇” [代数簇]

定义

代数簇是 $\mathbb{C} P^n$ 上齐次多项式的公共零点集.

抽象 (内蕴) 定义

Grothendieck 将抽象的代数簇定义为代数闭域上整, 可分, 有限型的概形. 经典的代数簇还要加上拟射影簇的条件.

性质

复流形

对于复流形 $M$, 若存在足够大的 $n$, 使得 $M$ 可嵌入 $\mathbb{C}P^n$, 则称其为 (非奇异) 代数簇. 这个定义是由于著名的周炜良定理.

命题. 若 $M$ 是代数簇, 则 $M$ 是 Kähler 流形; 特别地, $H^2(M;\mathbb{R})\neq 0$.

例

仿射代数簇

反例: 不是代数簇的复流形

$S^3\times S^3$ 上有复结构 (由 $T^2$ 作用 $T^2\to S^3\times S^3 \to S^2\times S^2$ 给出), 但它不是代数簇.

Hopf 曲面 $S^1\times S^3$ 的复结构由 $\mathbb{C}^2\setminus\{0\}\big/ \mathbb{Z}$ 定义, 其中 $n\in\mathbb{Z}$ 的作用是乘以 $2^n$. 它不是代数簇.