Wiki. “广义 Laplace 算子” [广义Laplace算子]

设 $M$ 是 Riemann 流形.

对于 $M$ 上的 $2$ 阶微分算子 $H$, 若其象征满足 $\sigma_2(H)(\xi)=|\xi|^2$, 则称之为广义 Laplace 算子.

以坐标表示, 广义 Laplace 算子形如 $$ H = -g^{ij}\partial_i \partial_j + \text{一阶项}. $$

由象征的等价定义, 广义 Laplace 的定义也等价于对任意 $f\in C^\infty(M)$, $$ [[H,f],f]=-2|df|^2. $$

带联络的向量丛上的 Laplace 算子

对 $M$ 上任何带有联络的向量丛 $E$, 我们定义 Laplace 算子 $\triangle^E\colon \Gamma(E)\to \Gamma(E)$, $$ \triangle^E s = -\operatorname{tr} (\nabla\nabla s). $$ 其中两个 $\nabla$ 分别表示 $E$ 和 $T^*M\otimes E$ 上的联络 (这样写是为了简便. 只要明白每个对象所属的空间, 就不会有歧义). 由联络的定义, 对向量场 $X,Y$, $$ \nabla\nabla s (X,Y) = \nabla_X \nabla_Ys-\nabla_{\nabla_X Y} s. $$ 于是在坐标下 $$ \triangle^E = -g^{ij}\big(\nabla_i\nabla_j-\Gamma_{ij}^k\nabla_k\big), $$ 这说明 $\triangle^E$ 是广义 Laplace 算子.

特别地, 若 $E$ 为平凡线丛, $$ \triangle = -g^{ij}\big(\partial_i\partial_j-\Gamma_{ij}^k\partial_k\big), $$

广义 Laplace 算子的结构

可以证明, 任何广义 Laplace 算子都形如 $\triangle^E+F$, 其中 $\triangle^E$ 由 $E$ 上某个联络定义 (不同的广义 Laplace 算子可能对应不同的联络), $F$ 为 $\operatorname{End}(E)$ 的截面.

(证明暂略)

总而言之, 广义 Laplace 算子由三个部分决定:

• $M$ 的 Riemann 度量决定了二次项;
• $E$ 的一个联络决定了一次项;
• $\operatorname{End}(E)$ 的一个截面决定了零次项.

与 Dirac 算子的关系

Lichnerowicz 公式指出 Dirac 算子的平方是广义 Laplace 算子.