Wiki. “Hesse 矩阵” [Hesse矩阵]

对于 Riemann 流形 $M$ 上的函数 $u$, Hesse 矩阵 $$ \operatorname{Hess}u := \nabla^2 u = \nabla(du) $$ 是 $T^*M\otimes T^*M$ 的截面. 由 $\nabla$ 的定义, $$ \nabla^2 u (X,Y)=\nabla_X(\nabla u)(Y)=\nabla_X\nabla_Y u - \nabla_{\nabla_{X}Y}u. $$ 由 Levi-Civita 联络的无挠性, 知 Hesse 矩阵对称: $$ \nabla^2 u(X,Y)=\nabla^2 u (Y,X). $$ 使用局部坐标, $$ \nabla^2 u = (\partial _i\partial _j u-\Gamma_{ij}^k\partial _k u) dx^i\otimes dx^j. $$ Hesse 矩阵的迹是 Laplace 算子.