Wiki. 绝对 Galois 群 [绝对Galois群]

域 $K$ 的绝对 Galois 群是可分闭包 $K^{\text{sep}}$ 的 Galois 群.

性质

对于函数域 $F$, 记 $\Gamma=\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$ 为其绝对 Galois 群, Grothendieck Galois 理论表明如下两个范畴等价:

• 带连续 $\Gamma$-作用的有限集的范畴;
• 有限可分 $F$-代数的范畴.

其中第一个范畴到第二个范畴的函子将带 $\Gamma$-作用的有限集 $A$ 映射到 $((F^{\text{sep}})^{\oplus A})^\Gamma$.

例

$\mathbb F_p$

有限域 $\mathbb F_p$ 的绝对 Galois 群 $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb F_p}/\mathbb F_p)$ 同构于整数环的 pro-有限完备化 $\widehat {\mathbb{Z}}:=\operatorname{lim}_n \mathbb{Z}/n\simeq\operatorname{lim}_n\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)$. 其中 $1\in\widehat {\mathbb{Z}}$ 是 Frobenius 态射, 它是 $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb F_p}/\mathbb F_p)$ 的一个拓扑生成元 (即生成稠密子群的元素).