Wiki. 经典 Galois 理论 [经典Galois理论]

观念

经典 Galois 理论告诉我们, 域的平展意象等价于其绝对 Galois 群的分类意象.

具体地, 对于域 $k$ 的平展意象 $\mathcal X = \mathsf{Sh} ((\operatorname{Spec}k)_{\mathrm{\'et}})$, 有 pro-$1$-群胚的典范同构 $$ \mathbf{B}{\operatorname{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)} \simeq \Pi_1 \mathcal X, $$ 并且典范的几何态射 $$ \mathcal X \to\beta(\Pi_1\mathcal X) $$ 为等价, 其中

• $\Pi_1 = \tau_{\leq 1}\circ\Pi_{\infty}\colon \mathsf{Topos} \to \mathsf{Pro}(\mathsf{Ani}_{\leq 1})$ 为形的基本 $1$-群胚,
• $\beta\colon \mathsf{Pro}(\mathsf{Ani}_{\leq 1}) \to \mathsf{Topos}_1$ 为 $\Pi_1$ 的右伴随.