Wiki. Grothendieck Galois 理论 [GrothendieckGalois理论]

观念

Grothendieck Galois 理论是如下理论的推广:

• 域的 Galois 扩张 (见经典 Galois 理论);
• 拓扑空间的 Galois 覆叠.

陈述

设 $X$ 为连通概形, 则存在一个 pro-有限群 $\pi_1(X)$ (称为平展基本群), 使得有限平展覆叠的范畴 $\mathsf{FEt}_X$ 等价于有限 $\pi_1(X)$-集合的范畴 $\mathsf{FinSet}_{\pi_1(X)}$.

$\pi_1(X)$ 在同构的意义下唯一, 但实际上依赖于一个基点的选取. 这个基点是通过纤维函子给出的.

…

例

$n$ 个 $X$ 的无交并对应 $n$ 元集合上的平凡 $\pi_1(X)$-作用.

$\pi_1(\operatorname{Spec}\mathbb{Z})$ 是平凡的, $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 没有非平凡的有限平展覆叠.

对于域 $K$, $\pi_1(\operatorname{Spec}K)$ 是 $K$ 的绝对 Galois 群.