Wiki. 意象的形 [∞-意象的形]

观念

意象的形 (shape) 是一个生象; 对此有两种看法.

• 我们知道生象可视为意象. 反过来, 对于一个意象, 我们想找一个与它 “尽可能接近” 的生象, 这就是它的形.
• 意象的形是其终对象的 “同伦型”.

定义

对于 $\infty$-意象 $\mathcal X$, 有唯一的几何态射 $$ \pi=(\pi^*\dashv \pi_*)\colon \mathcal X\to\mathsf{Ani}. $$ 由于常值层函子 $\pi^*\colon \mathsf{Ani}\to\mathcal X$ 保持有限极限, 其有形式左伴随 $$ \pi_!\colon \mathcal X \to \mathsf{Pro}\mathsf{Ani} = \mathsf{Fun}^{\mathrm{lex}}(\mathsf{Ani},\mathsf{Ani})^{\mathrm{op}}. $$ 定义 $\mathcal X$ 的形 (shape) $\Pi \mathcal X$ 为 pro-生象 $$ \Pi\mathcal X := \pi_!(1). $$

更具体地, 作为 $\mathsf{Fun}(\mathsf{Ani},\mathsf{Ani})^{\mathrm{op}}$ 的对象, $\Pi \mathcal X$ 是左正合函子 $$ \pi_*\pi^*\colon \mathsf{Ani} \to \mathsf{Ani}. $$ (注意 $\pi_*$, $\pi^*$ 均保持有限极限.)

性质

命题. 若 $\Pi\mathcal X = \pi_!(1)$ 是生象, 那么 $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}}(\Pi\mathcal X,A)\simeq\operatorname{Hom}_{\mathcal X}(1,\pi^* A)\simeq\operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}}(1,\pi_*\pi^* A)\simeq\pi_*\pi^* A. $$

命题. 对于生象 $A$, 有 $\Pi (\mathsf{Ani}_{/A}) = A$.

命题. 形函子 $\Pi \colon \mathsf{Topos}\to\mathsf{ProAni}$ 是嵌入 $\mathsf{Ani}_{/-} \colon \mathsf{Ani}\to\mathsf{Topos}$ 的形式左伴随: $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf{Topos}}(\mathcal X,\mathsf{Ani}_{/A})\simeq\operatorname{Hom}_{\mathcal X}(1,\pi^* A) \simeq \pi_*\pi^* A. $$

特别地, 当 $\Pi\mathcal X \in\mathsf{Ani}$ 时, $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf{Topos}}(\mathcal X,\mathsf{Ani}_{/A}) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}}(\Pi\mathcal X,A). $$

证明. 事实上下图为 $\mathsf{Topos}$ 中的拉回, $$ \begin{array} {ccc} \mathcal X_{/\pi^* A} & \to & \mathsf{Ani}_{/A}\\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathcal X & \underset{\pi}{\to} & \mathsf{Ani} \end{array} $$ 因而 $$ \begin{aligned} &\operatorname{Hom}_{\mathsf{Topos}}(\mathcal X,\mathsf{Ani}_{/A})\\ &\simeq \operatorname{Hom}_{\mathsf{Topos}_{/\mathcal X}}(\mathcal X,\mathcal X_{/\pi^* A})\\ &\simeq \operatorname{Hom}_{\mathcal X}(1,\pi^* A). \end{aligned} $$

相关概念

平展同伦论