Wiki. 平展基本群 [平展基本群]

观念

概形的平展基本群是其平展意象的形的基本群.

定义

传统

参考 Milne 平展上同调讲义. 对于概形 $X$, 记 $\mathsf{FEt}_{/X}$ 为指向 $X$ 的有限平展映射的范畴. 对于几何点 $\bar x \to X$, 定义纤维函子 $F \colon \mathsf{FEt}_{/X}\to\mathsf{Set}$, $$ F(Y\to X) := \operatorname{Hom}_X(\bar x,Y). $$ 函子 $F$ 是 pro-可表的. 记 $\widetilde {X}$ 为 $F$ 的表示 pro-对象, 定义 $$ \pi_1(X,\bar x) := \operatorname{Aut}_{\mathsf{ProFEt}_{/X}}(\widetilde {X}) = \operatorname{lim}\operatorname{Aut}_{\mathsf{FEt}_{/X}}(X_i) $$ 后一个等式来自 pro-对象的态射的计算. (todo)

性质

与主丛的关系

设 $X$ 为连通概形, $G$ 为有限群, 则 $X$ 的 $G$-系数 $1$ 阶非 Abel 平展上同调等同于 $X$ 的平展基本群到 $G$ 的同态: $$ H^1(X_{\mathrm{\'et}},G) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathrm{cts}}(\pi_1(X,\bar x),G). $$

例

设基环 $k$ 为特征 $0$ 代数闭域, $\mathbb G_m$ 的有限平展覆叠为 $(-)^n\colon \mathbb G_m \to\mathbb G_m$.