Wiki. 非 Abel 上同调 [非Abel上同调]

观念

非 Abel 上同调是一种广义的上同调概念, 强调其系数对象并非 Abel 群.

群 $G$ 系数的 $1$ 阶非 Abel 上同调类一一对应于 $G$-主丛的等价类.

非 Abel 上同调的一种计算方法是 Čech 上同调.

性质

长正合列

对于群短正合列 $K\to G\to H$ 有纤维列 $$ K\to G\to H\to \mathbf{B}K \to \mathbf{B}G \to \mathbf{B}H, $$ 从而有非 Abel 上同调的正合列 $$ \begin{aligned} H^0(X,K) &\to H^0(X,G) \to H^0(X,H)\\ \to H^1(X,K) &\to H^1(X,G) \to H^1(X,H). \end{aligned} $$

对于 $0$-截断群的中心扩张 $$ A \to G \to H $$ (即不仅要短正合列, 还要求 $A\to G$ 落在 $G$ 的中心中, 特别地 $A$ 为 Abel 群), 纤维列与长正合列还能增加一项: $$ A\to G \to H \to \mathbf{B}A \to \mathbf{B}G\to\mathbf{B}H \to\mathbf{B}^2 A, $$ $$ \begin{aligned} H^0(X,A) &\to H^0(X,G) \to H^0(X,H)\\ \to H^1(X,A) &\to H^1(X,G) \to H^1(X,H)\\ \to H^2(X,A) &. \end{aligned} $$

群结构

虽然名为 “非交换” Čech 上同调, 当然它也可以处理交换群.

对于 $\mathbb E_2$-群 $A$, 有 $\mathbf{B}A$ 为群, 从而 $H^1(X,A)=\pi_0\operatorname{Hom}(X,\mathbf{B}A)$ 为群.

具体地, 设 $P_1,P_2$ 为 $X$ 上的 $A$-主丛, 分别由 $p_1,p_2\colon X\to\mathbf{B}A$ 分类. 考虑如下拉回图. $$ \begin{array} {ccccc} P_1\times_X P_2 & \to & * \\ \downarrow & & \downarrow \\ ? & \to & \mathbf{B} A & \to & *\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ X & \underset{(p_1,p_2)}{\to} & \mathbf{B}A\times\mathbf{B}A & \underset{\mu}{\to} & \mathbf{B}A \end{array} $$ 其中 $\mu$ 为 $\mathbf{B}A$ 的乘法映射, 竖直向下的映射 $\mathbf{B}A\to\mathbf{B}A\times\mathbf{B}A$ 为 $\mathbf{B}(a\mapsto (a^{-1},a))$. 图中问号位置的对象即是 $P_1$ 与 $P_2$ 在 $H^1(X,A)$ 中的和 $$ P_1+P_2 := (P_1 \times_X P_2) / A, $$ 其中 $A$ 通过 $(p_1,p_2) a = (p_1 a^{-1}, p_2 a)$ 作用于 $P_1\times_X P_2$ 上.

例

Zariski 景, 平展景与平坦景

定理. 在概形 $X$ 对应的 Zariski 景, 平展景, 平坦景上计算同一个群概形 $\mathrm{GL}_n$ (对应的层) 的上同调, 比较映射 $$ H^1(X_{\mathrm{Zar}},\mathrm{GL}_n)\to H^1(X_{\mathrm{\'et}},\mathrm{GL}_n)\to H^1(X_{\mathrm{flat}},\mathrm{GL}_n) $$ 均为同构.

特别地, 对于域 $k$, $H^1(\operatorname{Spec}k,\mathbb G_m)=0$. 这是 Hilbert 定理 90.

证明. 见 Zariski, 平展与平坦的比较.